* ومنها مجموع قيم ما = متوسطها الحسابي × عددها
*لإيجاد العدد الناقص باستخدام الوسط الحسابي:
العدد الناقص = [ الوسط الحسابي × عدد القيم ] ÷ مجموع القيم المعطاة
*إذا كانت القيم تُمثل متتابعة حسابية فإن
الوسط الحسابي = !؛2 × [ أصغر عدد + أكبر عدد ]
* لإيجاد الوسيط لعدة قيم : نرتبها ترتيباً تصاعديا ( أو تنازلياً )
ويكون الوسيط هو 1) القيمة التي تتوسط المجموعة ،، أو:
2) الوسط الحسابي للقيمتين اللتان تتوسطان المجموعة
* المنوال لعدة قيم هو القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها
* في متباينات القيمة المطلقة:
1~‘س- ب‘ < ا(حيث ايح+ – ا<س-ب< ا س ي (ب- ا ، ب + ا )
2~ ‘س – ب‘ > ا ؤئ إما س – ب ى ا أو س- ب آ- ا
ؤئ س ي [ ب – ا ، ب + ا ]
3~ ( س – ب ) 2 > ا 2 ‘س – ب‘ > ا
4~ إذا كانت ‘ س‘ = ب ،، ب يح + فإن : س =_ ب
لاحظ أن [س//2 / =‘ س‘ ،، ‘ س ن ‘ = ‘ س ‘ن
،، ‘ س ‘ = ‘– س ‘ مثلا : ‘- 3‘ = ‘ 3‘ = 3
تدريبات
1 متوسط أول عشرة أعداد صحيحة موجبة = …
ا~ 3.6 ب~ 4.5 ج~ 5.3 د~ 5.5
2 إذا كان المتوسط للأعداد : س ، ص ، ع ، ل هو 6 ،، المتوسط للعددين س ، ص هو 3 فإن المتوسط للعددين ع ، ل هو …
ا~ #؛4 ب~ 6 ج~ 9 د~ 12
3 إذا كان المتوسط للأعداد : س ، س + 4 ، س + 8 هو 12 فإن س = …
ا~ 8 ب~ 6 ج~ 4 د~ 2
4 إذا كان المتوسط للأعداد : س ، س + 4 ، س + 8 هو 12 فإن الوسيط = ….
ا~ 8 ب~ 12 ج~ 14 د~ 16
5 إذا كان المتوسط للأعداد : 5 ، 9 ، س هو 6 فإن س = …
ا~ 3 ب~ 4 ج~ 5 د~ 6
6 إذا كان المتوسط لستة أعداد = 4.5 فإن مجموع هذه الأعداد = ….
ا~ 30 ب~ 29 ج~ 28 د~ 27
7 الوسيط للقيم : 23 ، 35 ، 12 ، 27 ، 32 ، 42 ، 24 ، 18 هو ….
ا~ 24.25 ب~ 25.5 ج~ 27 د~ 30
8 الوسط الحسابي للقيم : 14 ، 19 ، 24 ، 29 ، …………… ، 94 هو ….
ا~ 64 ب~ 59 ج~ 54 د~ 49
9 المنوال من البيانات 16 , 17 , 20 , 23 , 5 هو :
ا~ 5 ب~ 17 ج~ 23 د~ لا يوجد منوال
10 مجموعة حل المتباينة: ‘ س ‘ جمس صفر هو….
ا~ ف ب~ ح ج~ أ0 ، همس ٍ د~ ( – همس ، 0 ]
11 مجموعة حل المتباينة: ‘ س – 3 ‘ < 2 هي ….
ا~ ( – 2 ، 2 ) ب~ ( – 2 ، 5 ) ج~ ( 1 ، 5 ) د~ [ 1 ، 3 )
12 مجموعة حل المتباينة: ‘ س + 2 ‘ > 3 هي ….
ا~ [ – 5 ، 1 ] ب~ ( – 5 ، 1 ) ج~ ( – 5 ، 1 ] د~ ح – [ – 5 ، 1 ]
13 مجوعة حل المتباينة : ‘ س + 2 ‘ < صفر هي …
ا~ ح ب~ ( – 2 ، همس) ج~ ف د~ (- همس ، – 2)
14 حل المعادلة: ‘ س ‘ = صفر هي …
ا~ ح ب~ ( – همس ، 0 ) ج~ صفر د~ ف
15 حل المعادلة : ‘ 2 س – 4 ‘ = – 6 هي …
ا~ – 1 ب~ ح ج~ 5 د~ ف
16 الجدول التالي يبين درجات طلاب الصف الثاني الثانوي في الاختبار الشهري لمادة الرياضيات
الدرجة 5 6 7 8 9 10
التكرار 3 6 8 7 12 4
المطلوب : 1) عدد الطلاب الحاصلين على درجة أصغر من 8
ا~ 9 ب~ 11 ج~ 19 د~ 26
2) عدد الطلاب الحاصلين على درجة أكبر من 8
ا~ 23 ب~ 16 ج~ 11 د~ 12
3) عدد الطلاب الحاصلين على درجة أكبر من أو تساوي 6
ا~ 6 ب~ 23 ج~ 30 د~ 37
4) الدرجة المنوالية للدرجات هي:
ا~ 6 ب~ 8 ج~ 9 د~ 10
[5] محيط ومساحة بعض الأشكال الهندسية
الشكل المحيط المساحة
المثلث مجموع
أطوال
أضلاعه !؛2 × طول القاعدة × الارتفاع
[ح(ح:-: اَ
(:ح:-:بَ)
ح:- :جَ):
حيث: ح= !؛2 المحيط ، اَ،بَ ،جَ أطوال أضلاعه أو #؛4 (طول ضلعه) 2 إذا كان متطابق الأضلاع
!؛2 حاصل ضرب ضلعين متجاورين × جيب الزاوية بينهما
المربع 4 × طول الضلـع (طول ضلعه ) 2 أو !؛2 (طول القطر )2
المستطيل 2× (الطول + العرض) الطول × العرض . أو
!؛2 ×طولا قطريه×جيب الزاوية بينهما
المعـيـن 4 × طول الضـلـع !؛2 حاصل ضرب طولا قطريه .
أو (طول الضلع ) 2× جيب الزاوية بين أي ضلعين
شبه المنحـرف مجموع أطوال أضلاعه !؛2 (مجموع طولا قاعدتيه ) × الارتفاع
الدائرة 2×ط×نق ط × قق2، قق =طول نصف القطر
متوازي الأضلاع 2 × ( مجموع طولا ضلعين متجاورين ) القاعدة × الارتفاع أو:
حاصل ضرب طولا ضلعين متجاورين × جيب الزاوية بينهما
*مقتطفات هندسية*
نظرية فيثاغورس: في المثلث أ ب جـ القائم في ب
يكون: ا أ جـ ا 2 = ا أ ب ا 2 + ا ب جـ ا 2
أي أن : (طول الوتر )2 = مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة
ملاحظات: (1) (طول قطر المستطيل) 2 = مجموع مربعي بعداه
(2) (طول ضلع المعين) 2 =( !؛2 طول القطر الأول)2+( !؛2 طول القطر الثاني)2
(3) طول قطر المربع = [ 2 × طول ضلعه
المثلث الثلاثيني الستيني:
هو مثلث قائم إحدى زواياه قياسها = 60 ْ
أو مثلث ناتج من تنصيف مثلث متطابق الأضلاع
1) طول الضلع المقابل للزاوية 30 ْ = !؛2 × طول الوتر
2) طول الضلع المقابل للزاوية 60 ْ = × طول الوتر
المثلث القائم الزاوية والمتطابق الضلعين :
هو مثلث قائم إحدى زواياه قياسها = 45 ْ
أو مثلث ناتج من انقسام مربع إلى أربعة أجزاء
1) طول الوتر = [2 × طول ضلع القائمة
2) طول ضلع القائمة = طول الوتر ÷ [2
المضلعات في دائرة:
1) طول ضلع المثلث المتطابق الأضلاع المحاط بالدائرة ( م ، نق) = نق × [3
2) طول ضلع المربع المحاط بالدائرة (م ، نق ) = نق × [2
3) طول ضلع السداسي المنتظم المحاط بالدائرة ( م ، نق ) = نق
* عدد المثلثات التي ينقسم بها مضلع = عدد الأضلاع – 2
و عدد الأقطار التي تنطلق من أحد رؤؤس المضلع = عدد الأضلاع – 3
* في أي مثلث : مجموع طولا أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث
مدى طول ضلع مثلث = ( الفرق بين طولي الضلعين الآخرين ، مجموع طوليهما )
*في كل من : المربع / متوازي الأضلاع/ المستطيل/ المعين : يكون:
كل زاويتان متقابلتان متساويتان و كل زاويتان متجاورتان
متكاملتان(مجموعهما = 180 ْ)
*متوسطات المثلث تتقاطع جميعا في نقطة واحدة تقسم كل متوسط بنسبة 2 : 1 من جهة الرأس المنطلق منه
* قطرا المعين والمربع متعامدين وينصف كلا منهما الآخر وينصفا
زاويتي الرأسين الواصلين بينهما
* قطرا المستطيل والمربع متساويين وينصف كلا منهما الآخر
* في شبه المنحرف المتطابق الساقين: الزاويتان المجاورتان
لقاعدتيه متطابقتان ،، وقطراه متساويان
* يتشابه مضلعين إذا تساوت زواياهما وتناسبت أضلاعهما
* المضلعات التي لها نفس العدد من الأضلاع ومتطابقة تكون متشابهة
* نسبة تشابه مضلعين متشابهين = النسبة بين طولي ضلعين متناظرين فيهما والنسبة بين محيطيهما = نسبة التشابه والنسبة بين مساحتيهما = مربع نسبة التشابه
*مجموع الزوايا الداخلة لأي مضلع = (عدد أضلاعه – 2 ) × 180 ْ
معادلة الدائرة : ( س – ا ) @ + ( ص – ب ) @ = قق@
و مساحة القطاع الدائري = !؛2 ل قق حيث ل = طول قوس القطاع
ومحيط القطاع = 2 نق + ل
تدريبات
1
في الشكل المجاور 5 هـ
8 هـ
قيمة محيط المستطيل عندما هـ = 4 تساوي:
ا~ 410 ب~ 401 ج~ 140 د~ 104
2 مثلث يزيد ارتفاعه على قاعدته 2 سم ، ومساحته 24 سم2 ، فما طول قاعدته ؟
ا~ 6 ب~ 8 ج~ 10 د~ 12
3 في الشكل المجاور : (الرسم ليس على القياس) 6 سـم
نصف المساحة الكلية للمستطيل والمثلث = 5 سم
3 سم
ا~ 15 ب~ 30 ج~ 39 د~ 40
4 على الشكل المجاور : (الرسم ليس على القياس)
ما مجموع الزوايا: س + ص + ل + م
ما مجموع الزوايا : س + ص + ل + م
ا~ 120 ب~ 150 ج~ 180 د~ 220
5 مساحة الدائرة م = ربع مساحة الدائرة ن فإذا كان نصف قطر الدائرة م = نق
فإن طول نصف قطر الدائرة ن =
ا~ 2 نق ب~ نق ج~ !؛2 نق د~ !؛؛3 نق
6 [6] في الشكل المجاور للدائرتين الداخليتان
مساحة الدائرة الكبرى : مساحة الصغرى =
ا~ 3: 1 ب~ 4 : 1 ج~ 5 :1 د~ 1 : 6
7 على الشكل ا ب جء متوازي أضلاع
ما نسبة مساحة مم ه ب م إلى مساحة مم م جء
ا~ !؛4 ب~ @؛3 ج~ !؛9 د~ $؛9
8 على الشكل :إذا علمت أن م ز = د ز
فإن ‘ ا ب ‘ = …
ا~ 12 ب~ 8 ج~ 6 د~ 3
9 مساحة المنطقة المظللة على الشكل = ….
ا~ 18 ( 4 – ط) ب~ 36(3– 2 ط) ج~ 72(4 – ط) د~ 72(4 – 2ط)
10 على الشكل : إذا كان طول ضلع المربع = 4 سـم
، ط = @؛7@؛ فإن الفرق بين مساحتي المربع والدائرة = …
ا~ *؛7^؛ ب~ *؛7$؛ ج~ *؛7#؛ د~ $؛7@؛
11 قارن بين :
م~ محيط الشكل ا ب جء ، ن~ 35 سـم
الرسم ليس على القياس
ا~ م > ن ب~ م < ن ج~ م = ن د~ لا نستطيع المقارنة
12 في الشكل : محيط الدائرة ( ج ) = 12 ط سـم ،،
محيط الدائرة ( ب ) = محيط الدائرة (ا) = 8 ط سـم
قارن بين :
م~ 2 ‘ ا ب ‘ ،، ن~ ‘ ب ج ‘
ا~ م > ن ب~ م < ن ج~ م = ن د~ لا نستطيع المقارنة
13 في الشكل: مستطيل بداخله دائرتين
طول نصف قطر كل منهما = 2 سـم
فإذا كانت س = 1 سـم
فإن محيط المستطيل =
ا~ 20 سـم ب~ 22 سـم ج~ 24 سـم د~ 26 سـم
14 أوجد محيط الشكل إذا كان طول كل ضلع من أضلاع المربعات
الأربعة المرسومة = 5 سـم
ا~ 40 سـم ب~ 45سـم ج~ 50سـم د~ 80سـم
15 عدد المستطيلات التي بالشكل =
ا~ 16 ب~ 17 ج~ 18 د~ 19
16 محيط الدائرة (ن) = 12 ط سـم ،، محيط الدائرة ( م ) = 6 ط سـم فإذا كانت الدائرتان متقاطعتان من الخارج في نقطة واحدة فإن المسافة بين مركزيهما =
ا~ 18 ب~ 15 ج~ 12 د~ 9
17 مربع طول ضلعه = 8 سـم رسمنا بداخله دائرة
فإن مساحة المنطقة المظللة =
ا~ 16(4 + ط ) ب~ 32(2 – ط ) ج~ 16 (4 – ط ) د~ 16 + 4 ط
18 في الشكل : ‘ ا ب ‘ =
ا~ [13/ ب~ 2 [5 ج~ 5 د~ [31/
19 في الشكل : ‘ ب ن ‘ =
ا~ 8 – س ب~ 9 – س ج~10 – 2س د~11-3س
20 في الشكل السابق للتدريب(19) : مساحة شبه المنحرف ا م ه ء =
ا~ 8 – س ب~ 9 – س ج~ 9 ( 1 + س ) د~ 10 ( 1+ س )
21 في الشكل السابق للتدريب(19) : ‘ م ب ‘ = … سـم
ا~ 9 ب~ 8 ج~ 7 د~ 6
22 ا ب جء مستطيل محيطه 14 [2 رسمنا دائرة
قطرها هو جء
إذا كانت مساحة الدائرة = 50 ط سـم2
فإن مساحة المنطقة غير المظللة =
ا~ 25 – 4 ط ب~ 4( 5 – ط ) ج~ 14 – 4 ط د~ 18 – 8 ط
23 على الشكل : ‘ ا ب ‘ = 3 سـم ، ‘ اء ‘ = 4 سـم
،‘ جء ‘ = 9 سـم
فإن مساحة المنطقة المظللة = ……. سـم 2
ا~ 18 ب~ 13.5 ج~ 9 د~ 4.5
24 على الشكل : ا ب جء مربع محيطه 12 سـم
م ،، ه منتصفا [ ا ب ] ،، [ اء ] على الترتيب
مساحة المنطقة المظللة = ….. سـم2
ا~ 3 ب~ 4 ج~ 4.5 د~ 6
25 على الشكل : ا ب جء مربع قطره هو ا ج
رسمنا المربع اَ بَ جَءَ والذي طول قطره
‘ اَ جَ ‘ = !؛2 ‘ ا ج ‘
مساحة المنطقة المظللة : مساحة المربع ا ب جء =
ا~ [2 : 1 ب~ 3 : 4 ج~ 2 : [2 د~ 2 : 1
26 مربعان طول ضلع الأول خُمس طول ضلع الثاني أوجد النسبة بين مساحتيهما؟
وكذلك النسبة بين محيطيهما؟
27 أوجد طول نصف قطر دائرة يتساوي محيطها عددياً مع مساحتها
28 أوجد طول ضلع مربع يتساوي محيطه عددياً مع مساحته
29 في الشكل : دائرة مساحتها 4 ط س2 سـم 2
رسمنا مربع يمس ضلعان فيه الدائرة
فإن مساحة المربع = …
ا~ 2 س 2 ب~ 4 س 2 ج~ 16 س 2 د~ 64 س 2
30 ا ب ج مثلث رسمنا ا د متوسط فيه أوجد النسبة بين مساحتي المثلثين
ا ب د ،، ا ب ج
31 ا ب ج مثلث أطوال أضلاعه 5 سـم ، 12 سـم ، 13 سـم
أوجد محيطه وكذلك مساحته
32 إذا كان طولا ضلعين في مثلث هما 8 سـم ، 11 سـم فما مدى طول الضلع الثالث؟
33 معين طولا قطريه 12 سـم ، 16 سـم أوجد محيطه؟
34 أوجد محيط مربع مساحته ثلاثة أمثال مساحة مستطيل بعداه 5 سـم ، 15 سـم
35 متوازي أضلاع قيمة إحدى زواياه 6 س وقيمة الزاوية المجاورة لها 4 س فما قيمة س؟
36 مستطيل محيطه 28 سـم وطول قطره 10 سـم أوجد مساحته؟
37 على الشكل المقابل ا ب ج قائم ومتطابق الضلعين
طول وتره = 4 [2 ، ج مركز دائرة طول نصف قطرها = ‘ ب ج‘
أوجد مساحة الجزء غير المظلل
38 على الشكل المجاور دائرة مساحتها 8 ط سـم 2
رسمنا بداخلها مربع أحد رؤسه على المحيط والرأس
المقابلة في مركز الدائرة
أوجد مساحة المربع بالســم2
39 أوجد مساحة الدائرة التي معادلتها : ( س + 1 ) 2 + ( ص – 5 ) 2 = 49
40 في الدائرة السابقة إذا كان طول قوس قطاع دائري فيها يساوي خُمس طول قطرها
فما مساحته؟ وما محيطه؟
41 مضلع مجموع زواياه الداخلة = 1445 ْ أوجد عدد أضلاعه؟
42 مضلعان منتظمان متشابهان النسبة بين مساحتيهما = 36 : 121
إذا كان محيط الأصغر = محيط معين طول ضلعه 9 سـم فما محيط المضلع الأكبر
43 لا يمكن رسم دائرة تمر برؤوس ……..
ا~ مستطيل ب~ معين ج~ مربع د~ مثلث
44 في الشكل المجاور: ا ب ج د مستطيل
س منتصف ا ب ، ب ص : ص ج = 1: 3 ا س ب
ص
مساحة المثلث س ب ص : مساحة المستطيل ا ب ج د =
د ج
ا~ 1 : 8 ب~ 1 : 16 ج~ 1 : 24 د~ 1 : 32
45 في الشكل المجاور: في المثلث ا ب ج: ا
س ، ص منتصفا [ ا ج] ، [ ب ج]
على الترتيب ،
مساحة المنطقة المظللة : مساحة المثلث ا ب ج = .. ب س
ص
ج
ا~ 1 : 2 ب~ 1 : 3 ج~ 1 : 4 د~ 1 : 6
مفاتيح الحلول الصحيحة
[1]
التدريب 1 2 3 4 5 6 7 8 9
الفقرة د ا ج تكملة د ج د ا ب
التدريب 10 11 12 13 14 15 16 17 18
الفقرة ج د د د ا ب ب ج 5
التدريب 19 20 21 22 23 24 25 26 27
الفقرة 29 ، 29 0.538 د ج ا د د ج ب
التدريب 28 29 30 31 32 33 34 35 36
الفقرة ج د ب ج ا د ج ج د
التدريب 37 38 39 40 41 42 43 44 45
الفقرة ا د د ا ج ب ج ب د
التدريب 46 47 48
الفقرة ج ا 30
[2]
التدريب 1 2 3 4 5 6 7 8 9
الفقرة د ا
التدريب 10 11 12 13 14 15 16 17 18
الفقرة ب ا د ج د ج ب ج ا
التدريب 19 20 21 22 23 24 25 26 27
الفقرة ج ب د ب ج ا ب د ب
التدريب 28 29 30 31 32 33 34 35 36
الفقرة د ج ب ج ج ب ج د
التدريب 37 38 39 40 41 42 43 44 45
الفقرة ا د ج ا ج ب ج ج
التدريب 46 47 48 49 50 51 52 53 54
الفقرة د د ب ج ب ا ج ج ب
التدريب 55 56 57 58 59 60 61 62 63
الفقرة د ب ج ب ا ب ج ج د
التدريب 64 65 66 67 68 69 70 71 72
الفقرة ا ب د د ب ج ج
التدريب 73 74 75 76 77
الفقرة ج ب ا د د
[3]
التدريب 1 2 3 4 5 6 7 8 9
الفقرة د ا ب د ج د ا ا ج
التدريب 10 11 12 13 14 15 16 17 18
الفقرة د ا ب ب ج ا ب ا ج
التدريب 19 20 21 22 23 24 25 26 27
الفقرة ب د ج ج ب د ا ج ب
التدريب 28 29 30 31 32 33 34
الفقرة ا ب ج د ج ا ب
[4]
التدريب 1 2 3 4 5 6 7 8 9
الفقرة د ج ا ب ب د ج ج د
التدريب 10 11 12 13 14 15 16
الفقرة ب ج د ج ج د
[5]
التدريب 1 2 3 4 5 6 7 8 9
الفقرة د ب ا ج ا ب د ج ج
التدريب 10 11 12 13 14 15 16 17 18
الفقرة د ب ا ب ج ج د ج د
التدريب 19 20 21 22 23 24 25 26 27
الفقرة ب د ب ب د ج ب 2
التدريب 28 29 30 31 32 33 34 35 36
الفقرة 4 ج 1 : 2 40 60 18 48
التدريب 37 38 39 40 41 42 43 44 45
الفقرة 8 – 2 ط 4 49 ط 10 66 ب ب ج
انتظرونا في الجزء الثاني إن شاء الله